1、一次函數一、定義與定義式：自變量x和因變量y有如下關系：y=kx+b則此時稱y是x的一次函數。

2、特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。

3、即：y=kx（k為常數，k≠0）二、一次函數的性質：1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k即：y=kx+b（k為任意不為零的實數b取任何實數）2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

(資料圖片僅供參考)

4、三、一次函數的圖像及性質：1．作法與圖形：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。

5、因此，作一次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。

6、（通常找函數圖像與x軸和y軸的交點）2．性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。

7、（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數的圖像總是過原點。

8、3．k，b與函數圖像所在象限：當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

9、當b＞0時，直線必通過一、二象限；當b=0時，直線通過原點當b＜0時，直線必通過三、四象限。

10、特別地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。

11、這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限。

12、四、確定一次函數的表達式：已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數的表達式。

13、（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。

14、（2）因為在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式y=kx+b。

15、所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。

16、（4）最后得到一次函數的表達式。

17、五、一次函數在生活中的應用：1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。

18、s=vt。

19、2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。

20、設水池中原有水量S。

21、g=S-ft。

22、六、常用公式：（不全，希望有人補充）1.求函數圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/23.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/24.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（注：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）二次函數I.定義與定義表達式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）則稱y為x的二次函數。

23、二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

24、II.二次函數的三種表達式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P（h，k）]交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A（x?，0）和B（x?，0）的拋物線]注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函數的圖像在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

25、IV.拋物線的性質1.拋物線是軸對稱圖形。

26、對稱軸為直線x=-b/2a。

27、對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

28、特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）2.拋物線有一個頂點P，坐標為P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。

29、3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

30、當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。

31、|a|越大，則拋物線的開口越小。

32、4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

33、當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。

34、5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

35、拋物線與y軸交于（0，c）6.拋物線與x軸交點個數Δ=b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。

36、Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

37、Δ=b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。

38、X的取值是虛數（x=-b±√b^2－4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）V.二次函數與一元二次方程特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2+bx+c，當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax^2+bx+c=0此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

39、函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

40、1．二次函數y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：解析式頂點坐標對稱軸y=ax^2(0，0)x=0y=a(x-h)^2(h，0)x=hy=a(x-h)^2+k(h，k)x=hy=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)x=-b/2a當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的圖象；當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而減小．4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?|當△=0．圖象與x軸只有一個交點；當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值．6．用待定系數法求二次函數的解析式(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0)．(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。

41、因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．反比例函數形如y＝k／x(k為常數且k≠0)的函數，叫做反比例函數。

42、自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。

43、反比例函數圖像性質：反比例函數的圖像為雙曲線。

44、由于反比例函數屬于奇函數，有f(-x)=-f(x),圖像關于原點對稱。

45、另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

46、如圖，上面給出了k分別為正和負（2和-2）時的函數圖像。

47、當K＞0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數當K＜0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。

48、知識點：1.過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。

49、2.對于雙曲線y＝k／x，若在分母上加減任意一個實數(即y＝k／（x±m）m為常數)，就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。

50、（加一個數時向左平移，減一個數時向右平移）對數函數對數函數的一般形式為，它實際上就是指數函數的反函數。

51、因此指數函數里對于a的規定，同樣適用于對數函數。

52、右圖給出對于不同大小a所表示的函數圖形：可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。

53、（1）對數函數的定義域為大于0的實數集合。

54、（2）對數函數的值域為全部實數集合。

55、（3）函數總是通過（1，0）這點。

56、（4）a大于1時，為單調遞增函數，并且上凸；a小于1大于0時，函數為單調遞減函數，并且下凹。

57、（5）顯然對數函數無界。

58、指數函數指數函數的一般形式為，從上面我們對于冪函數的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得如圖所示為a的不同大小影響函數圖形的情況。

59、可以看到：（1）指數函數的定義域為所有實數的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮。

60、（2）指數函數的值域為大于0的實數集合。

61、（3）函數圖形都是下凹的。

62、（4）a大于1，則指數函數單調遞增；a小于1大于0，則為單調遞減的。

63、（5）可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中（當然不能等于0），函數的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。

64、其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

65、（6）函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。

66、（7）函數總是通過（0，1）這點。

67、（8）顯然指數函數無界。

68、奇偶性注圖：（1）為奇函數（2）為偶函數1．定義一般地，對于函數f(x)（1）如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數。

69、（2）如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數。

70、（3）如果對于函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那么函數f(x)既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。

71、（4）如果對于函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。

72、說明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言②奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數的定義域不關于原點對稱，則這個函數一定不是奇（或偶）函數。

73、（分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱，然后再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論）③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義2．奇偶函數圖像的特征：定理奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖表，偶函數的圖象關于y軸或軸對稱圖形。

74、f(x)為奇函數《＝＝》f(x)的圖像關于原點對稱點（x,y）→（-x,-y）奇函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。

75、偶函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。

76、3.奇偶函數運算(1).兩個偶函數相加所得的和為偶函數.(2).兩個奇函數相加所得的和為奇函數.(3).一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數.(4).兩個偶函數相乘所得的積為偶函數.(5).兩個奇函數相乘所得的積為偶函數.(6).一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數.定義域（高中函數定義）設A,B是兩個非空的數集，如果按某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x),x屬于集合A。

77、其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域；值域名稱定義函數中，應變量的取值范圍叫做這個函數的值域函數的值域,在數學中是函數在定義域中應變量所有值的集合常用的求值域的方法（1）化歸法；（2）圖象法（數形結合），（3）函數單調性法，（4）配方法，（5）換元法，（6）反函數法（逆求法），（7）判別式法，（8）復合函數法，（9）三角代換法，（10）基本不等式法等關于函數值域誤區定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本“元件”。

78、平時數學中，實行“定義域優先”的原則，無可置疑。

79、然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處于互相轉化之中（典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化）。

80、如果函數的值域是無限集的話，那么求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時并不能奏效，還必須聯系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。

81、才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內函的理解，從而深化對函數本質的認識。

82、“范圍”與“值域”相同嗎？“范圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。

83、“值域”是所有函數值的集合（即集合中每一個元素都是這個函數的取值），而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都滿足這個條件）。

84、也就是說:“值域”是一個“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。

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