hello大家好，我是城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)網(wǎng)小晟來為大家解答以上問題，正弦余弦定理解析，論正余弦定理很多人還不知道，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

正余弦定理是高中數(shù)學(xué)中最漂亮、最簡潔的定理之一。它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是三角函數(shù)一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價值。

一：正弦定理

【資料圖】

1：定義

在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R，直徑為D。則有：

即一個三角形中，各邊和所對角的正弦之比相等，且該比值等于該三角形外接圓的直徑（半徑的2倍）長度。

2：證明方法

歷史上，正弦定理的幾何推導(dǎo)方法豐富多彩。根據(jù)其思路特征，主要可以分為兩種。

第一種方法可以稱為 “同徑法 ”，最早為13世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家納綏爾丁和15世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯所采用。“同徑法 ”是將三角形兩個內(nèi)角的正弦看作半徑相同的圓中的正弦線（16世紀(jì)以前，三角函數(shù)被視為線段而非比值），利用相似三角形性質(zhì)得出兩者之比等于角的對邊之比。納綏爾丁同時延長兩個內(nèi)角的對邊，構(gòu)造半徑同時大于兩邊的圓。雷格蒙塔努斯將納綏爾丁的方法進(jìn)行簡化，只延長兩邊中的較短邊，構(gòu)造半徑等于較長邊的圓。17~18世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家梅文鼎和英國數(shù)學(xué)家辛普森各自獨(dú)立地簡化了“同徑法”。

18世紀(jì)初，“同徑法”又演化為“直角三角形法”，這種方法不需要選擇并作出圓的半徑，只需要作出三角形的高線，利用直角三角形的邊角關(guān)系，即可得出正弦定理。19世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家伍德豪斯開始統(tǒng)一取R=1，相當(dāng)于用比值來表示三角函數(shù)，得到今天普遍采用的 “作高法”。

第二種方法為“外接圓法”，最早為16世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)所采用。韋達(dá)沒有討論鈍角三角形的情形，后世數(shù)學(xué)家對此作了補(bǔ)充。

3：推廣

二：余弦定理

1：定義

余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角的余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，則有

2：證明方法

無字證明：與《幾何原本》中勾股定理證明類似

以下是正余弦定理中涉及到的一些經(jīng)典題目，敬請鑒賞。

本文就為大家講解到這里，希望對大家有所幫助。

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